Justificación de la 2ª ley de Kepler

2ª ley de Kepler
"El vector de posición de cualquier planeta con respecto del Sol (vector que tiene el origen en el Sol y su extremo en el planeta considerado) barre áreas iguales en tiempos iguales."
Velocidad areolar constante.

Primero vamos a demostrar que el momento angular L permanece constante en la trayectoria de un cuerpo que es afectado únicamente por una fuerza central:

El momento de fuerza generado por el cuerpo central es por definición:   M = r x F

Entonces la magnitud de M es:  M = r F sen a,  siendo r el radiovector, F la fuerza gravitatoria y a el angulo entre los vectores anteriores (la fuerza y el radiovector). Como F es una fuerza central, el angulo entre esta y r es siempre cero, por lo que M=0. 

Como M = dL/dt = 0  entonces podemos concluir que L es constante.

Una vez demostrado esto, podemos comenzar con la demostración que nos incumbe. Lo que vamos a ver, es valido en general para cualquier curva cerrada y en particular para una elipse. 

Empecemos por trazar dos rectas desde un punto en el interior de la curva cerrada, la cual representa la órbita descrita por el cuerpo, hasta un elemento del perímetro de la misma, donde la separación angular entre ellas sea muy pequeña. El punto representa la ubicación del cuerpo que genera la fuerza central. De esta manera nos quedara algo semejante al siguiente gráfico:

En el gráfico, se puede ver un triángulo en donde dos de sus lados, son prácticamente r y el otro lado es dr. Al ser el ángulo tan pequeño, el arco entre las intersecciones de las rectas y el perímetro, es prácticamente dr. Es decir que al ser tan pequeño este arco, lo podemos rectificar sin que con eso nos de un error significativo.

Teniendo en cuenta esto, podemos decir que el elemento diferencial de área dA es el área de un triangulo (base por altura partido por dos):
dA = r x dr / 2

Ley de las Áreas