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Flujo del campo eléctrico. Teorema de Gauss.


Flujo del campo eléctrico
El campo eléctrico puede representarse mediante unas líneas imaginarias denominadas líneas de campo y se puede calcular el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. 
El flujo del campo eléctrico se define como la cantidad de líneas de campo que atraviesan una superficie S por unidad de tiempo.

Como se aprecia en la figura anterior, el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie depende de la orientación de esta última con respecto a las líneas de campo. Por tanto, el flujo del campo eléctrico debe ser definido de tal modo que tenga en cuenta este hecho.

Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el área de la superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura. El flujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se define mediante el producto escalar:


Cuando la superficie es paralela a las líneas de campo (figura (a)), ninguna de ellas atraviesa la superficie y el flujo es por tanto nulo. E y dS son en este caso perpendiculares, y su producto escalar es nulo.

Cuando la superficie se orienta perpendicularmente al campo (figura (d)), el flujo es máximo, como también lo es el producto escalar de E y dS.

Teorema de Gauss:
El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0.
La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina superficie gaussiana.




Aplicación del Teorema de Gauss a una carga puntual.
Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico  es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.
En consecuencia:

igualando a  la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0,
E 4pr2 = Q/e0
Obtenemos el campo eléctrico creado por una carga puntual a una distancia r:




Aplicación del Teorema de Gauss a una esfera uniformemente cargada:
Dada una esfera de radio R, uniformemente cargada, y un punto A a una distancia r del centro de la esfera, podemos calcular el campo del siguiente modo: tomamos como superficie gaussiana una superficie esférica de radio r con el mismo centro que la esfera cargada y sabemos que por razones de simetría en todos los puntos de la esfera el campo vale lo mismo E, y además el campo será perpendicular a la superficie, por lo que al hacer la integral de E·S nos queda simplemente E·S, donde S es la superficie de la esfera de radio r

Observamos que el campo creado por una esfera cargada con una carga Q uniformemente distribuida, a una distancia r del centro de la esfera, es el mismo que el de una carga puntual Q colocada en el centro de la esfera.

EJEMPLOS DEL TEOREMA DE GAUSS (pincha para ver los siguientes ejemplos)
Determinación del campo eléctrico creado por:
  • distribución esférica de carga distribuida uniformemente en la superficie esférica
  • distribución esférica de carga distribuida uniformemente en todo el volumen de la esfera
  • un plano infinito cargado uniformemente con una densidad superficial 
  • dos planos paralelos e infinitos cargados con densidades superficiales iguales y opuestas
  • un hilo rectilíneo e infinito, de sección despreciable, que presenta una distribución lineal de cargas con densidad uniforme